关系模型和关系运算
1. 基本概述关系数据库是应用关系数据模型来建立和处理数据库中的数据。这其中主要涉及几个重要的概念。
2. 关系
关系实际上就可以看作是一个二维表。其中，表的每一列称为属性，并用属性名来标识。每个属性的取值范围，就是该属性所对应的值域。表的每一行称为元组。约定该表的行、列的次序的改变，不改变关系的语义性质。
对于一个关系，应该具备下列性质：
- 关系中每一个属性值都是不可分解的；
- 关系中不允许出现相同的元组；不让用户考虑元组的顺序；
- 用户在使用时应考虑列的顺序。
3. 关键字（键）
- 候选键
关系中的某一属性或属性组，若它的值可以唯一标识关系中的一个元组而又不含有多余的属性，则称该属性或属性组为候选关键字。
- 主键
关系模式中用户正使用的候选关键字称为主关键字。
- 外关键字
若模式R中某属性集是其他模式的候选键，那么该属性集对模式R而言就是外关键字。
- 超键
关系模式中，为唯一标识元组的属性集称为超键。
4. 关系模型
关系模型是目前最流行的一种数据模型，它是用二维表格结构表示实体集，关键码表示实体间的联系。
关系模型遵循数据库的3级体系结构。
(1) 关系模式
数据库的概念模式定义为关系模式的集合。每个关系模式就是记录类型。(2) 关系子模式
这是对用户所用到的那部分数据的描述。除了指出用户用到的数据外，还应指出数据与模式中相应数据的联系，即指出子模式与模式之间的对应性。
(3) 关系存储模式（关系内模式）
这是作为文件看待的，每个元组就是一个记录。
关系模型有3个部分构成：
- 数据结构 关系模型采用的数据结构是关系。
- 关系操作 关系模型提供一组完备的关系运算，以支持对数据库的各种操作。关系运算的理论是关系代数和关系演算。
- 关系的完整性
在关系模型中，数据的约束条件通过三类完整性约束条件来描述。即：
实体完整性:要求关系中的元组的主键值不能是空值。
参照完整性:要求在关系中不允许引用不存在的实体。
用户定义的完整性:这是针对某一具体数据的约束条件，由应用环境决定，例如属性的值限制。
5. 关系代数
关系查询语言根据其理论基础的不同分成两大类：
- 关系代数语言：查询操作是以集合操作为基础的运算。
- 关系演算语言：查询操作是以谓词演算为基础的运算。
其中，关系代数是以集合代数为基础发展起来的，它是以关系为运算对象的一组高级运算的集合。关系代数的运算可分为两类：
基本运算操作：并、差、笛卡尔积、投影和选择。
组合运算操作：交、联接、自然联接和除。
另外，还有几种扩充的关系代数操作：外联接（左外联接和右外联接）、外部并和半联接。
以下对几种常用的关系运算作一个简单的介绍。
- 基本运算
并：设有两个关系R和S具有相同的关系模式，关系R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合，记为R∪S。形式定义如下：R∪S≡｛t│t∈R∨t∈S｝
差：设有两个关系R和S具有相同的关系模式，关系R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合，记为R－S。形式定义如下：R－S≡｛t│t∈R∧t￣∈S｝
笛卡儿积：设关系R和S元数分别为r和s。定义R和S的笛卡儿积是一个(r+s)元的元组集合，每个元组的前r个分量来自R的一个元组，后s个分量来自S的一个元组，记为R×S形式定义如下：R×S≡｛t│t＝＜tr,ts＞tr∈R∧ts∈S｝，若R有m个元组，S有n个元组，则R×S有（mn）个元组。
投影：该操作是对关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序，再删去重复元组。
选择：这个操作是根据某些条件对关系作水平分割，即选择符合条件的元组。条件可用命题公式F表示，F中的运算对象是常数（用引号括起来）或元组分量（属性名或列的序号）。运算符有算术比较运算符（≤，＜，≥，＞，＝，≠）和逻辑运算符（∧，∨，┐）。δF(R)≡{t│t∈R∧F(t)＝ true}，δ为选择运算符，δF(R)表示从R中挑选满足公式F的元组所构成的集合。常量用引号括起来，而属性号或属性名不要用引号括起来。
- 组合运算
交：设有两个关系R和S具有相同的关系模式，关系R和S的交是由属于R又属于S的元组组成的集合，记为R∩S。形式定义如下：R∩S≡{t│t∈R∧t∈S}
联接（又称θ联接）：从关系R和S的笛卡尔积中选取属性值之间满足一定条件的元组，记为：R│×│S≡δiθ(i+j)(R×S) ijθ，这里R的元数是r，θ是算术比较运算符。R│×│S操作是在R和S ijθ的笛卡尔积中挑选第i个分量和第（r+j）个分量满足θ运算的元组组成的新的关系。
自然联接：两个关系R和S的自然联接用R│×│S表示，具体计算过程如下：
A) 计算R×S
B)设R和S的公共属性是A1,A2,A3,..Ak.，挑选R×S中满足，A1=S.A1,R.A2,...,R.Ak=S.Ak的那些元组
C) 去掉S.A1,S.A2,..S.Ak，R│×│S可用下列形式定义：
R│×│S≡πi1i2,...,im(δR.A1=S.A1∧...∧R.Ak=S.Ak(R×S)。
除法：设两个关系R和S的元数分别为r和s（r>s>0），那么R÷S是一个（r－s）元的元组的集合。（R÷S）是满足下列条件的最大关系，其中每个元组t与S中每个元组u组成的新元组必在关系R中。
R÷S的具体计算过程如下：
A) T=π1,2,..r-s(R)
B) W=(T×S)-R求出T×S中不在R的元组
C) V=π1,2,...r-s(W)
D) R÷S=T-V
因此R÷S≡π1,2,..r-s (R)- π1,2,..r-s ((π1,2,..r-s (R) ×S) -R )。
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