关系模型和关系运算

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1. 基本概述
    关系数据库是应用关系数据模型来建立和处理数据库中的数据。这其中主要涉及几个重要的概念。

2. 关系
    关系实际上就可以看作是一个二维表。其中，表的每一列称为属性，并用属性名来标识。每个属性的取值范围，就是该属性所对应的值域。表的每一行称为元组。约定该表的行、列的次序的改变，不改变关系的语义性质。

对于一个关系，应该具备下列性质：

      -     关系中每一个属性值都是不可分解的；
      -     关系中不允许出现相同的元组；不让用户考虑元组的顺序；
      -     用户在使用时应考虑列的顺序。

3. 关键字（键）
      -     候选键
    关系中的某一属性或属性组，若它的值可以唯一标识关系中的一个元组而又不含有多余的属性，则称该属性或属性组为候选关键字。

      -     主键
    关系模式中用户正使用的候选关键字称为主关键字。

      -     外关键字
    若模式R中某属性集是其他模式的候选键，那么该属性集对模式R而言就是外关键字。

      -      超键
    关系模式中，为唯一标识元组的属性集称为超键。

4. 关系模型
    关系模型是目前最流行的一种数据模型，它是用二维表格结构表示实体集，关键码表示实体间的联系。
    关系模型遵循数据库的3级体系结构。

(1) 关系模式
    数据库的概念模式定义为关系模式的集合。每个关系模式就是记录类型。(2) 关系子模式
    这是对用户所用到的那部分数据的描述。除了指出用户用到的数据外，还应指出数据与模式中相应数据的联系，即指出子模式与模式之间的对应性。

(3) 关系存储模式（关系内模式）
    这是作为文件看待的，每个元组就是一个记录。
    关系模型有3个部分构成：

      -      数据结构    关系模型采用的数据结构是关系。

      -     关系操作    关系模型提供一组完备的关系运算，以支持对数据库的各种操作。关系运算的理论是关系代数和关系演算。

      -     关系的完整性
    在关系模型中，数据的约束条件通过三类完整性约束条件来描述。即：
实体完整性:要求关系中的元组的主键值不能是空值。
参照完整性:要求在关系中不允许引用不存在的实体。
用户定义的完整性:这是针对某一具体数据的约束条件，由应用环境决定，例如属性的值限制。

5. 关系代数
    关系查询语言根据其理论基础的不同分成两大类：

      -     关系代数语言：查询操作是以集合操作为基础的运算。
      -     关系演算语言：查询操作是以谓词演算为基础的运算。

    其中，关系代数是以集合代数为基础发展起来的，它是以关系为运算对象的一组高级运算的集合。关系代数的运算可分为两类：

    基本运算操作：并、差、笛卡尔积、投影和选择。
    组合运算操作：交、联接、自然联接和除。
    另外，还有几种扩充的关系代数操作：外联接（左外联接和右外联接）、外部并和半联接。

    以下对几种常用的关系运算作一个简单的介绍。

      -     基本运算

并：设有两个关系R和S具有相同的关系模式，关系R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合，记为R∪S。形式定义如下：R∪S≡｛t│t∈R∨t∈S｝

差：设有两个关系R和S具有相同的关系模式，关系R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合，记为R－S。形式定义如下：R－S≡｛t│t∈R∧t￣∈S｝

笛卡儿积：设关系R和S元数分别为r和s。定义R和S的笛卡儿积是一个(r+s)元的元组集合，每个元组的前r个分量来自R的一个元组，后s个分量来自S的一个元组，记为R×S形式定义如下：R×S≡｛t│t＝＜tr,ts＞tr∈R∧ts∈S｝，若R有m个元组，S有n个元组，则R×S有（mn）个元组。

投影：该操作是对关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序，再删去重复元组。

选择：这个操作是根据某些条件对关系作水平分割，即选择符合条件的元组。条件可用命题公式F表示，F中的运算对象是常数（用引号括起来）或元组分量（属性名或列的序号）。运算符有算术比较运算符（≤，＜，≥，＞，＝，≠）和逻辑运算符（∧，∨，┐）。δF(R)≡{t│t∈R∧F(t)＝ true}，δ为选择运算符，δF(R)表示从R中挑选满足公式F的元组所构成的集合。常量用引号括起来，而属性号或属性名不要用引号括起来。

      -     组合运算

交：设有两个关系R和S具有相同的关系模式，关系R和S的交是由属于R又属于S的元组组成的集合，记为R∩S。形式定义如下：R∩S≡{t│t∈R∧t∈S}

联接（又称θ联接）：从关系R和S的笛卡尔积中选取属性值之间满足一定条件的元组，记为：R│×│S≡δiθ(i+j)(R×S) ijθ，这里R的元数是r，θ是算术比较运算符。R│×│S操作是在R和S ijθ的笛卡尔积中挑选第i个分量和第（r+j）个分量满足θ运算的元组组成的新的关系。

自然联接：两个关系R和S的自然联接用R│×│S表示，具体计算过程如下：

A) 计算R×S

B)设R和S的公共属性是A1,A2,A3,..Ak.，挑选R×S中满足，A1=S.A1,R.A2,...,R.Ak=S.Ak的那些元组

C) 去掉S.A1,S.A2,..S.Ak，R│×│S可用下列形式定义：

R│×│S≡πi1i2,...,im(δR.A1=S.A1∧...∧R.Ak=S.Ak(R×S)。

除法：设两个关系R和S的元数分别为r和s（r>s>0），那么R÷S是一个（r－s）元的元组的集合。（R÷S）是满足下列条件的最大关系，其中每个元组t与S中每个元组u组成的新元组必在关系R中。

R÷S的具体计算过程如下：

A) T=π1,2,..r-s(R)

B) W=(T×S)-R求出T×S中不在R的元组

C) V=π1,2,...r-s(W)

D) R÷S=T-V

因此R÷S≡π1,2,..r-s (R)- π1,2,..r-s ((π1,2,..r-s (R) ×S) -R )。